Tổng các số lẻ liên tiếp bằng n²
Tổng n số lẻ đầu tiên 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) luôn bằng n² — một số chính phương. Ví dụ 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5². Trò chơi phía trên cho bạn thấy điều này đúng chỉ bằng cách xếp hình.
Ý tưởng: mỗi số lẻ là một lớp chữ L
Hãy biểu diễn mỗi số lẻ bằng một lớp hình chữ L (gnomon) bao quanh hình vuông cũ. Bắt đầu từ 1 ô (hình vuông 1×1). Thêm 3 ô theo hình chữ L để thành hình vuông 2×2, thêm 5 ô để thành 3×3, và cứ thế.
- Bắt đầu với 1 ô — đó là hình vuông 1×1 (tức 1²).
- Mỗi lớp chữ L mới là một số lẻ: 3, 5, 7, …
- Lớp chữ L thứ k có đúng 2k − 1 ô, bao quanh một cạnh ngang và một cạnh dọc.
- Mỗi lớp làm cạnh tăng thêm 1, biến hình vuông cũ thành hình vuông lớn hơn.
Vì sao bằng n²?
Khi thêm lớp chữ L thứ k gồm 2k − 1 ô, ta biến hình vuông (k−1)² thành hình vuông k². Thật vậy:
(k−1)² + (2k − 1) = k² − 2k + 1 + 2k − 1 = k²
Cứ mỗi số lẻ ta lên một bậc hình vuông. Sau khi thêm đủ n lớp, hình vuông cuối cùng là n×n gồm n² ô, nên tổng n số lẻ đầu tiên bằng n².
Câu hỏi thường gặp
1 + 3 + 5 + 7 + 9 bằng bao nhiêu? Đó là tổng 5 số lẻ đầu tiên, nên bằng 5² = 25.
Số chính phương là gì? Là số bằng bình phương của một số tự nhiên (1, 4, 9, 16, 25, …). Tổng các số lẻ liên tiếp tính từ 1 luôn cho ra một số chính phương.
Ứng dụng thực tế
Công thức tổng các số lẻ xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🔢 Nhận biết nhanh số chính phương: nếu cộng dồn 1, 3, 5, … mà dừng đúng lúc, kết quả là n².
- ⚡ Tính nhanh: muốn biết 1 + 3 + … + 19 chỉ cần đếm có 10 số lẻ → đáp số là 10² = 100.
- 🍎 Vật lí: quãng đường vật rơi tự do trong các giây liên tiếp tỉ lệ với các số lẻ 1, 3, 5, … (định luật Galileo).
- 💻 Lập trình & sắp xếp: nhiều thuật toán dựng/duyệt lưới ô vuông dùng cấu trúc lớp chữ L này.