Trục căn thức ở mẫu là gì?
Trong chương trình Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, trục căn thức ở mẫu là phép biến đổi làm mất dấu căn ở mẫu số của một phân thức mà không làm thay đổi giá trị của nó. Ví dụ 1/(√3 − √2) trông "gai góc": muốn ước lượng phải chia cho 0,318… rất khó nhẩm. Nhưng sau khi trục căn, nó trở thành √3 + √2 ≈ 3,15 — đọc phát ra ngay. Bí quyết nằm ở một người bạn đặc biệt: biểu thức liên hợp.
Ý tưởng trực quan: nhân với 1 một cách khôn ngoan
Liên hợp của √a − √b là √a + √b: chỉ đổi dấu ở giữa. Trò chơi phía trên cho bạn đi từng bước và quan sát điều xảy ra:
- Chọn a và b — biểu thức xuất phát là 1/(√a − √b), có căn nằm dưới mẫu (tô đỏ).
- Bấm Bước tiếp theo: biểu thức liên hợp (√a + √b) bay vào, nhân đồng thời cả tử và mẫu. Vì (√a + √b)/(√a + √b) = 1, ta chỉ đang nhân với 1.
- Bước nữa: mẫu số (√a − √b)(√a + √b) áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thành (√a)² − (√b)² = a − b — hết sạch căn!
- Bước cuối: hai thanh giá trị "trước" và "sau" cao đúng bằng nhau — bằng chứng sống rằng giá trị biểu thức không hề thay đổi.
Vì sao căn ở mẫu biến mất?
Tất cả nằm ở hằng đẳng thức quen thuộc (x − y)(x + y) = x² − y². Thay x = √a, y = √b:
(√a − √b)(√a + √b) = (√a)² − (√b)² = a − b
Bình phương "nuốt" dấu căn, để lại hiệu a − b nguyên vẹn không căn. Vì ta nhân cả tử lẫn mẫu với cùng một biểu thức khác 0, phân thức chỉ được "thay áo" chứ không đổi giá trị: 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b). Với mẫu đơn giản hơn kiểu c/√a, chỉ cần nhân với √a/√a để được c√a/a. Lưu ý: cần √a ≠ √b, tức a ≠ b, để mẫu khác 0.
Câu hỏi thường gặp
Trục căn thức ở mẫu là gì? Là phép biến đổi khử dấu căn ở mẫu của phân thức mà giữ nguyên giá trị. Với mẫu √a − √b, nhân cả tử và mẫu với liên hợp √a + √b để mẫu thành a − b.
Vì sao nhân liên hợp khử được căn? Vì (√a − √b)(√a + √b) = (√a)² − (√b)² = a − b theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương; đồng thời nhân tử và mẫu với cùng một số khác 0 là nhân với 1 nên giá trị không đổi.
Ứng dụng thực tế
Trục căn thức không chỉ để "đẹp bài" — nó thật sự hữu ích:
- 🧮 Thời chưa có máy tính, chia cho 1,414… gần như bất khả thi; nhân √2/2 ≈ 0,707 thì nhẩm được ngay.
- 📉 Máy tính xử lý 1/(√a − √b) khi a ≈ b dễ mất chính xác (hiệu hai số gần nhau); dạng liên hợp ổn định hơn nhiều.
- 📐 Nhiều giới hạn ở lớp trên (dạng 0/0 chứa căn) được giải chính bằng thủ thuật nhân liên hợp này.
- ⚙️ Chuẩn hóa kết quả: mọi người cùng đưa về một dạng "không căn ở mẫu" nên dễ so sánh, chấm bài, tra bảng.