Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là gì?
Trong chương trình Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, nhiều bài toán thực tế có hai đại lượng chưa biết. Thay vì mò mẫm thử từng số, ta gọi hai đại lượng đó là hai ẩn x và y, rồi “dịch” từng dữ kiện của đề bài thành một phương trình. Hai dữ kiện cho ta hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn — giải hệ là tìm ra đáp án. Bài toán cổ “vừa gà vừa chó” chính là ví dụ kinh điển nhất của phương pháp này.
Ý tưởng trò chơi: nuôi thử đàn gà chó
Trong game phía trên, bạn quyết định số con gà x, máy tự tính số con chó y = 36 − x để tổng luôn đủ 36 con. Bên trái, cả đàn được vẽ ra và tổng số chân 2x + 4y được đếm trực tiếp. Bên phải, mỗi phương trình là một đường thẳng — điểm (x; y) của bạn trượt dọc đường x + y = 36. Nhiệm vụ: kéo đến khi tổng chân đúng 100, tức là điểm rơi trúng giao điểm hai đường thẳng.
- Chọn ẩn: gọi x là số con gà, y là số con chó (x, y là số tự nhiên, x + y = 36).
- Lập hệ: tổng số con cho phương trình x + y = 36; tổng số chân cho phương trình 2x + 4y = 100.
- Giải hệ: từ phương trình đầu, y = 36 − x. Thế vào phương trình sau: 2x + 4(36 − x) = 100 → 144 − 2x = 100 → x = 22, suy ra y = 14.
Vì sao giao điểm hai đường thẳng là nghiệm?
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn có tập nghiệm là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ: mọi điểm nằm trên đường x + y = 36 đều cho tổng 36 con; mọi điểm nằm trên đường 2x + 4y = 100 đều cho tổng 100 chân.
Nghiệm của hệ phải thoả đồng thời cả hai phương trình — nghĩa là điểm đó phải nằm trên cả hai đường thẳng cùng lúc. Điểm duy nhất làm được điều đó chính là giao điểm. Với bài toán này, giao điểm là (22; 14): khi bạn kéo thanh trượt tới x = 22, chấm tròn trên đồ thị chạm đúng chỗ hai đường cắt nhau và game báo “Đúng!”.
x + y = 36 và 2x + 4y = 100 ⇒ (x; y) = (22; 14)
Thử lại: 22 + 14 = 36 con ✓ và 2·22 + 4·14 = 44 + 56 = 100 chân ✓. Cả hai điều kiện cùng đúng, nên đây là nghiệm của hệ — và là đáp án của bài toán.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán vừa gà vừa chó 36 con 100 chân có đáp án là bao nhiêu? Đáp án là 22 con gà và 14 con chó. Kiểm tra: 22 + 14 = 36 con; 2·22 + 4·14 = 44 + 56 = 100 chân — đúng cả hai dữ kiện.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm mấy bước? Gồm 3 bước: (1) chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; (2) biểu diễn các dữ kiện để lập hệ phương trình; (3) giải hệ phương trình rồi đối chiếu điều kiện và kết luận.
Ứng dụng thực tế
Kiểu bài “hai ẩn — hai dữ kiện” xuất hiện thường xuyên trong đời sống:
- 🎫 Bán vé: biết tổng số vé và tổng tiền thu được, tìm số vé người lớn và vé trẻ em.
- 🚗 Chuyển động: hai xe đi ngược chiều gặp nhau — lập hệ theo quãng đường và thời gian để tìm vận tốc mỗi xe.
- 🧪 Pha dung dịch: trộn hai dung dịch nồng độ khác nhau để được lượng và nồng độ mong muốn.
- 🏭 Năng suất: hai đội cùng làm chung một công việc — hệ phương trình cho biết mỗi đội làm một mình mất bao lâu.