Nhìn hệ phương trình bằng đồ thị
Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình dạng ax + by = c và a′x + b′y = c′. Mỗi phương trình là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Nghiệm của hệ là điểm chung của hai đường thẳng — nên số nghiệm chính là số điểm chung.
Ba trường hợp
- Cắt nhau tại một điểm → hệ có một nghiệm duy nhất. Xảy ra khi a/a′ ≠ b/b′.
- Song song và phân biệt → hệ vô nghiệm. Xảy ra khi a/a′ = b/b′ ≠ c/c′ (cùng hướng, khác vị trí).
- Trùng nhau → hệ có vô số nghiệm. Xảy ra khi a/a′ = b/b′ = c/c′ (hai phương trình là bội của nhau).
Vì sao dùng tỉ số hệ số?
Hai đường thẳng có cùng hướng (song song hoặc trùng) khi các hệ số của x và y tỉ lệ với nhau, tức a/a′ = b/b′. Lúc đó nếu số hạng tự do cũng cùng tỉ lệ (c/c′ bằng luôn) thì hai phương trình mô tả đúng một đường — trùng nhau, vô số nghiệm. Nếu c/c′ khác đi, hai đường song song không trùng — vô nghiệm.
Mẹo kiểm tra nhanh
Viết cả ba tỉ số a/a′, b/b′, c/c′ rồi so sánh. Bằng cả ba ⇒ vô số nghiệm. Hai tỉ số đầu bằng nhau, tỉ số thứ ba khác ⇒ vô nghiệm. Chỉ cần hai tỉ số đầu khác nhau là đủ ⇒ một nghiệm. (Chú ý trường hợp có hệ số bằng 0 thì so sánh trực tiếp phương trình.)
Liên hệ với định thức
Có một cách nhìn gọn hơn bằng định thức. Đặt D = a·b′ − a′·b. Nếu D khác 0, hai đường thẳng cắt nhau và hệ có đúng một nghiệm — nghiệm này tính được bằng quy tắc Cramer. Nếu D bằng 0, hai đường cùng phương: khi ấy phải xét thêm các định thức phụ để biết hai đường trùng nhau (vô số nghiệm) hay chỉ song song (vô nghiệm). Trong game, con số D chính là thứ quyết định có điểm giao màu xanh hiện ra hay không. Hãy kéo b′ về đúng bằng b (khi a = a′) để thấy điểm giao biến mất, hệ chuyển từ một nghiệm sang song song hoặc trùng nhau.
Ứng dụng thực tế
Phân loại số nghiệm giúp:
- 🧾 Biết một bài toán có lời giải duy nhất, vô số hay bất khả thi.
- 💰 Cân đối chi phí – doanh thu: điểm hòa vốn là giao hai đường.
- 🧪 Trộn dung dịch, pha hỗn hợp theo hai ràng buộc.
- 💻 Nền tảng của đại số tuyến tính và giải hệ trên máy tính.