Hệ toạ độ Oxyz là gì?
Hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc và chung gốc O. Mỗi điểm M trong không gian ứng với một bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của M: x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ. Chúng chính là toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên ba trục.
Dựng điểm M bằng hình hộp toạ độ
- Từ O, đi x đơn vị theo trục Ox, rồi y đơn vị theo Oy, rồi z đơn vị theo Oz.
- Điểm dừng cuối cùng là M(x; y; z) — đỉnh đối diện O của một hình hộp chữ nhật.
- Hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm H(x; y; 0); đoạn HM song song trục Oz và dài |z|.
- Ba cạnh của hộp xuất phát từ O có độ dài |x|, |y|, |z| và song song với ba trục toạ độ.
Vì sao OM = √(x²+y²+z²)?
OM là đường chéo của hình hộp chữ nhật cạnh |x|, |y|, |z|. Áp dụng định lí Pythagoras hai lần: trong mặt phẳng (Oxy), tam giác vuông cho OH² = x² + y² với H là hình chiếu của M. Sau đó tam giác OHM vuông tại H (vì HM ⟂ (Oxy)) với HM = |z| cho OM² = OH² + z² = x² + y² + z². Vậy OM = √(x² + y² + z²). Đây cũng là công thức khoảng cách từ gốc O tới điểm M.
Câu hỏi thường gặp
Toạ độ của một điểm trong không gian Oxyz là gì? Là bộ ba số (x; y; z), trong đó x, y, z lần lượt là toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên ba trục Ox, Oy, Oz. M là đỉnh đối diện O của hình hộp chữ nhật cạnh |x|, |y|, |z|.
Vì sao độ dài OM bằng căn của x²+y²+z²? Vì OM là đường chéo hình hộp chữ nhật cạnh |x|, |y|, |z|; dùng Pythagoras hai lần: OH²=x²+y² rồi OM²=OH²+z²=x²+y²+z².
Ứng dụng thực tế
Toạ độ trong không gian là ngôn ngữ của mọi mô hình 3D:
- 🎮 Đồ hoạ game, mô hình 3D, thực tế ảo đặt vật thể bằng (x; y; z).
- 🛰️ Định vị GPS, vệ tinh, hàng không dùng toạ độ không gian.
- 🏗️ Bản vẽ kiến trúc, cơ khí, in 3D mô tả điểm trong không gian.
- 🤖 Cánh tay robot, mô phỏng vật lí tính vị trí và khoảng cách OM.