Học toán bằng hình ảnh & tương tác

Sàng Eratosthenes — số nguyên tố

Gạch bội số, các số nguyên tố sáng lên.

🔔

Bảng Galton — đường cong chuông

Thả bi qua các đinh → hình chuông Pascal.

(a + b)³ — khối lập phương 3D

Tách khối cạnh (a+b) thành 8 mảnh màu.

🌐

Thể tích hình cầu = 4/3 πR³

Mặt cắt hình cầu = trụ trừ nón (Cavalieri).

♟️

Lũy thừa của 2 — nhân đôi

Hạt thóc trên bàn cờ: mỗi ô gấp đôi ô trước.

sin, cos, tan, cot là gì?

Cả 4 hàm là đoạn thẳng trên vòng tròn — có mô tả.

📚 Lớp 1

🐤

Đếm đồ vật

Bấm từng con vật để đếm.

So sánh nhiều — ít

Ghép cặp rồi chọn nhóm nhiều hơn.

🧺

Đếm đến 10

Kéo đủ số quả vào giỏ.

🐰

Tia số đến 10

Cho thỏ nhảy tới đúng số.

Thứ tự số

Xếp thẻ số từ bé đến lớn.

Số liền trước, liền sau

Điền số đứng trước và sau.

Tách số trong 10

Tách nhóm hạt thành hai phần.

Gộp số trong 10

Gộp hai nhóm hạt rồi đếm tổng.

Cộng trong 10

Xếp thêm khối để thấy tổng.

Trừ trong 10

Lấy bớt khối đi rồi đếm còn lại.

Làm cho đủ 10

Thêm hạt vào khung mười ô cho đầy.

Khung mười ô

Đặt chấm biểu diễn một số.

🐊

So sánh lớn — bé

Đặt dấu >, <, = vào giữa hai số.

🐸

Đếm cách 2

Nhảy 2, 4, 6… trên tia số.

🖐️

Đếm cách 5

Đếm 5, 10, 15… theo bàn tay.

Đếm cách 10

Kéo bó chục, đọc 10, 20, 30…

Chẵn hay lẻ?

Ghép đôi chấm, dư một là số lẻ.

Cộng trong 20

Gộp hai khung mười ô rồi đếm.

Trừ trong 20

Xoá bớt chấm khỏi khung rồi đếm.

Bảng cộng đến 10

Chạm ô để hiện phép cộng và tổng.

Điền số còn thiếu

Kéo số đúng vào ô trống.

✋

Đếm bằng ngón tay

Giơ đúng số ngón tay cho khớp.

Phân nhóm để đếm

Khoanh nhóm 5 rồi cộng nhanh.

0️⃣

Số 0

Lấy hết vật khỏi giỏ để thấy còn 0.

Hình phẳng cơ bản

Kéo hình về đúng ô tên.

Đếm cạnh hình

Bấm từng cạnh của hình để đếm.

Khối lập phương, khối hộp

Phân loại khối 3D vào đúng rổ.

⚽

Khối cầu, khối trụ

Lăn được hay không lăn được?

🏠

Ghép hình tạo vật

Ghép hình thành nhà, thuyền.

Dài hơn, ngắn hơn

So hai băng giấy, chọn cái dài hơn.

Cao hơn, thấp hơn

Sắp các cây theo chiều cao.

Nặng hơn, nhẹ hơn

Đặt vật lên cân xem bên nào chìm.

🧭

Phải, trái, trên, dưới

Đặt con vật theo đúng hướng.

🔵

Trong hay ngoài

Kéo vật vào trong hoặc ra ngoài vòng.

🕐

Xem giờ đúng

Xoay kim đồng hồ về đúng giờ.

🕧

Giờ đúng, giờ rưỡi

Nối đồng hồ với thẻ giờ.

📅

Thứ trong tuần

Xếp các thứ đúng thứ tự.

Xếp hình tangram

Ghép các miếng thành con vật mẫu.

Đối xứng gấp hình

Gấp hình xem hai nửa trùng khít.

Nối điểm tạo hình

Nối các chấm theo số để ra hình.

Đếm hình trong tranh

Bấm mỗi loại hình để đếm.

Quy luật hình

Chọn hình đúng tiếp theo của dãy.

🌈

Quy luật màu sắc

Kéo màu tiếp theo cho đúng chuỗi.

Quy luật số

Điền số tiếp theo của dãy.

🔗

Ghép cặp đồ vật

Nối mỗi vật với vật cùng loại.

🗂️

Phân loại màu, hình

Thả vật vào rổ theo màu hoặc hình.

Biểu đồ tranh

Xếp cột rồi đếm cột cao nhất.

Đếm và đánh dấu

Gạch một vạch mỗi vật rồi đọc tổng.

💵

Đếm tiền Việt

Kéo tờ tiền vào ví cho đủ số tiền.

📗 Lớp 2

Que tính: chục & đơn vị

Bó 10 que thành 1 chục, đếm chục và lẻ.

Chục và đơn vị

Ghép bó chục và que lẻ thành số.

Bảng 100 ô

Tô đếm cách 2, 5, 10 thấy quy luật.

Tia số đến 100

Nhảy chục và đơn vị tới đúng số.

🐊

So sánh số hai chữ số

Đặt dấu >, <, = dựa vào chục.

Làm tròn đến chục

Kéo số về chục gần nhất.

Cộng không nhớ

Gộp bó chục và que lẻ, đếm tổng.

Cộng có nhớ

Gộp 10 que thành 1 bó chục rồi cộng.

Trừ không nhớ

Lấy bớt que và bó, đếm còn lại.

Trừ có nhớ

Tháo 1 bó chục thành que lẻ để trừ.

🧾

Đặt tính cột dọc

Xếp chữ số đúng cột rồi tính.

Cộng qua 10

Tách số để tạo 10 rồi cộng phần dư.

Trừ qua 10

Lấy tròn chục trước rồi trừ tiếp.

✌️

Bảng nhân 2

Nhóm cặp vật để thấy nhân 2.

🖐️

Bảng nhân 5

Bó năm ngón tay, đếm nhân 5.

⬛

Nhân bằng mô hình mảng

Xếp lưới hàng × cột, đếm tổng ô.

Chia đều

Chia bánh đều vào các đĩa.

👥

Chia thành nhóm

Nhóm vật thành nhóm bằng nhau.

Nhân là cộng lặp

Nối a×b với a + a + … (b lần).

Chẵn lẻ đến 100

Tô ô chẵn/lẻ trên bảng trăm.

Thứ tự số đến 100

Xếp thẻ số từ bé đến lớn.

⏭️

Đếm cách trên bảng trăm

Bấm chuỗi ô cách 2, 5, 10.

Liền trước, liền sau (đến 100)

Điền số đứng trước và sau.

Phân tích số

Tách số thành chục + đơn vị.

👀

Ước lượng số lượng

Đoán số vật rồi đếm kiểm chứng.

Đo độ dài (cm)

Áp thước vào vật, đọc số cm.

Vẽ đoạn thẳng

Tạo đoạn thẳng đúng độ dài cm.

〰️

Đường thẳng, đường cong

Phân loại nét vẽ thẳng hay cong.

Ba điểm thẳng hàng

Kéo cho ba điểm nằm thẳng hàng.

Hình tứ giác

Đếm 4 cạnh, nhận diện tứ giác.

Nhận diện khối

Trụ, cầu, hộp, lập phương vào đúng nhóm.

Đếm khối đã xếp

Đếm số khối, kể cả khối khuất.

🟩

Chu vi bằng que

Xếp que quanh hình, cộng các cạnh.

Diện tích đếm ô

Phủ ô vuông đơn vị rồi đếm.

🕒

Xem giờ 15 phút

Giờ đúng, rưỡi, kém/hơn 15 phút.

🕐

Đồng hồ số & kim

Nối đồng hồ kim với đồng hồ số.

📅

Lịch ngày tháng

Bấm ngày, đọc thứ và ngày/tháng.

🗓️

Tháng trong năm

Xếp 12 tháng đúng thứ tự.

🥤

Đo bằng lít

Rót đầy ca 1 lít, đếm số lít.

Cân ki-lô-gam

Đặt quả cân cho kim chỉ đúng kg.

Hoàn thành đối xứng

Vẽ nửa còn lại qua trục đối xứng.

Ghép hình tạo mẫu

Dùng hình phẳng lát kín mẫu.

Xoay lật hình

Xoay/lật miếng ghép cho khớp.

Bảng số liệu

Đếm vật rồi điền số vào bảng.

Biểu đồ tranh → cột

Xếp biểu tượng thành cột, so cao thấp.

Đọc biểu đồ tranh

Bấm cột đọc số liệu, so nhiều ít.

Quy luật số

Điền số tiếp theo của dãy cách đều.

Quy luật hình xoay

Chọn hình (đã xoay) tiếp theo.

Chắc chắn / có thể / không

Phân loại theo khả năng xảy ra.

💵

Đổi tiền Việt

Đổi tờ lớn ra các tờ nhỏ đủ giá trị.

🛒

Tính tiền mua hàng

Cộng giá các món rồi trả đủ tiền.

📘 Lớp 3

🍎

Bảng nhân bằng nhóm

Kéo n nhóm × m chấm, đếm ra tích.

⬛

Bảng nhân bằng ô vuông

Tô lưới a×b rồi đếm ô ra tích.

Bảng cửu chương động

Chạm ô bảng nhân, hiện tích.

Nhân là cộng lặp

Cộng dồn từng nhóm thành tích.

Tính giao hoán của nhân

Xoay a×b thành b×a, ô không đổi.

Tính kết hợp của nhân

(a×b)×c = a×(b×c) bằng khối.

Phân phối a×(b+c)

Cắt lưới thành hai mảng rồi cộng.

Nhân có nhớ theo cột

Nhớ que chục sang cột bên.

🍪

Chia đều thành nhóm

Chia vào n rổ, đọc thương.

🍬

Chia có dư

Phần còn lại là số dư.

🧾

Chia đặt tính dọc

Hạ từng chữ số, chia từng bước.

Tìm x (nhân, chia)

Cân thăng bằng để tìm x.

Gấp lên nhiều lần

Kéo thanh gấp n lần, so chiều dài.

Giảm đi nhiều lần

Chia thanh thành n phần bằng nhau.

Gấp mấy lần?

Đếm thanh nhỏ đặt vừa thanh lớn.

Ước lượng tổng

Làm tròn hai số rồi cộng nhanh.

Đọc viết số trong nghìn

Ghép thẻ trăm/chục/đơn vị thành số.

Giá trị theo hàng

Di khối vào cột nghìn/trăm/chục/đơn vị.

Làm tròn chục, trăm

Kéo số, bật về mốc gần nhất.

Cộng trừ có nhớ bằng que

Bó 10 que thành chục, tháo khi mượn.

Phần bằng nhau

Cắt bánh thành n miếng đều, tô một phần.

▭

Nhận biết phân số

Kéo chia thanh, đọc tử và mẫu.

So sánh phân số bằng hình

Chồng hai thanh phân số để so sánh.

🟰

Phân số bằng nhau

Cắt đôi mỗi phần: 1/2 = 2/4 = 3/6.

🔲

Chu vi hình chữ nhật

Đi vòng viền, cộng dồn bốn cạnh.

Diện tích đếm ô

Phủ ô vuông đơn vị rồi đếm.

Góc vuông với ê ke

Áp ê ke kiểm góc vuông/nhọn/tù.

Nhận biết góc

Mở góc, phân loại nhọn/vuông/tù.

Hình chữ nhật và vuông

Kéo cạnh, phát hiện khi thành vuông.

Tam giác và tứ giác

Nối điểm đếm cạnh, phân loại hình.

Đổi mm cm dm m

Gộp 10 đơn vị nhỏ thành 1 lớn.

Đổi m và km

Gộp 1000 m thành 1 km.

Cân gam và ki-lô-gam

Đặt vật lên cân: 1000 g = 1 kg.

🥤

Mi-li-lít và lít

Rót đầy chai: 1000 ml = 1 l.

🕐

Xem đồng hồ

Kéo kim, đọc giờ đến từng 5 phút.

⏱️

Đổi giờ phút giây

Gộp 60 thành đơn vị lớn hơn.

🛒

Tính tiền & tiền thối

Trả đủ giá món rồi tính tiền thối.

🌡️

Đọc nhiệt kế

Kéo mực nhiệt, đọc độ C.

Bảng số 100 ô

Tô bội của một số, thấy quy luật.

Chẵn lẻ ghép cặp

Ghép đôi chấm, dư một là số lẻ.

Biểu đồ tranh

Kéo biểu tượng vào cột, mỗi hình 1 đơn vị.

Biểu đồ cột

Kéo cao từng cột theo số liệu.

Dãy số quy luật

Điền số tiếp theo, xem bước nhảy.

Quy luật hình

Kéo hình tiếp theo hoàn thành chuỗi.

⏭️

Đếm cách đều

Nhảy trên trục số bước 2, 3, 5.

Thứ tự thực hiện phép tính

Nhân/chia trước, cộng/trừ sau.

Tách số tròn chục

Tách 47 = 40 + 7 để tính nhanh.

Số trên trục số

Kéo điểm vào đúng vạch trên trục.

📙 Lớp 4

Đọc viết số đến triệu

Ghép thẻ lớp triệu/nghìn/đơn vị thành số.

Giá trị hàng đến triệu

Di khối vào cột hàng, đọc giá trị.

Nhân số nhiều chữ số

Tách theo hàng, cộng các tích riêng.

🔲

Nhân với số hai chữ số

Lưới Napier tách chục và đơn vị.

Chia cho số hai chữ số

Ước lượng thương từng bước, hạ số.

Phân phối mở rộng

Cắt lưới lớn thành bốn mảng rồi cộng.

0️⃣

Nhân/chia với 10, 100, 1000

Trượt chữ số qua hàng, thêm/bớt số 0.

Ước lượng thương

Làm tròn số bị chia rồi chia nhanh.

Dấu hiệu chia hết

Kiểm chia hết cho 2, 3, 5, 9.

Tìm thành phần chưa biết

Cân thăng bằng cho cả 4 phép, dò x.

Tính giá trị biểu thức

Trượt x, xem giá trị biểu thức đổi theo.

Trung bình cộng

San bằng các cột về cùng chiều cao.

Tổng và hiệu

Kéo hai thanh, bù trừ tìm số lớn/bé.

Tổng và tỉ số

Chia thanh theo tỉ, tìm hai số.

1️⃣

Rút về đơn vị

Chia ra một phần rồi nhân lên số cần.

▭

Phân số trên thanh

Kéo chia thanh, đọc tử và mẫu.

🟰

Phân số bằng nhau

Nhân/chia tử và mẫu, phần tô không đổi.

Rút gọn phân số

Gộp miếng nhỏ thành miếng lớn bằng nhau.

🔗

Quy đồng mẫu số

Đưa hai thanh về cùng số phần.

So sánh phân số khác mẫu

Quy đồng rồi chồng hai thanh.

Cộng phân số cùng mẫu

Ghép các miếng cùng cỡ, đếm tử.

Trừ phân số cùng mẫu

Bỏ bớt miếng cùng cỡ, đọc còn lại.

Phân số và hỗn số

Gộp miếng đủ bánh thành phần nguyên.

Nhận biết số thập phân

Tô ô phần mười/phần trăm, đọc số.

Hàng của số thập phân

Di khối vào cột phần mười/phần trăm.

Số thập phân trên trục

Kéo điểm vào vạch chia mười.

So sánh số thập phân

So từng hàng, thanh dài hơn thắng.

💵

Thập phân và tiền

Ghép đồng lẻ thành số tiền thập phân.

Làm tròn số thập phân

Kéo số trên trục về mốc gần nhất.

🔶

Diện tích hình thoi

Cắt hai đường chéo ghép thành chữ nhật.

🔲

Chu vi và diện tích

Kéo cạnh, so chu vi và diện tích đổi.

Đo góc bằng thước đo độ

Xoay thước đo, đọc số đo góc.

Vẽ góc cho trước

Kéo tia đến đúng số độ yêu cầu.

🛤️

Hai đường thẳng song song

Kéo đường, phát hiện khi song song.

Hai đường thẳng vuông góc

Xoay đường đến khi tạo góc vuông.

Hình bình hành và hình thoi

Kéo đỉnh, phân loại theo cạnh.

Đổi đơn vị đo (độ dài)

Kéo bậc thang đơn vị, nhân/chia mốc.

Đổi đơn vị diện tích

Chia ô lớn thành ô nhỏ cm²/dm²/m².

Tấn tạ yến ki-lô

Chồng bao cân, gộp bậc đơn vị khối lượng.

⏱️

Giây phút giờ ngày

Kéo cung thời gian, gộp 60 và 24.

📜

Thế kỷ và năm

Đặt sự kiện trên trục: 100 năm = 1 thế kỷ.

Khối hộp chữ nhật

Xoay khối, đếm mặt, cạnh, đỉnh.

Khai triển hộp

Gấp hình khai triển thành khối hộp.

Đối xứng trục

Gấp hình theo trục, kiểm hai nửa trùng.

Vẽ hình đối xứng

Vẽ nửa còn lại qua trục đối xứng.

Biểu đồ cột

Kéo cột theo số liệu, đọc và so sánh.

Bảng số liệu

Điền bảng từ dữ liệu, tính tổng dòng/cột.

🎡

Khả năng xảy ra

Quay vòng quay: chắc chắn/có thể/không.

Dãy số quy luật

Dò bước nhảy nhân, điền số tiếp theo.

📕 Lớp 5

🥧

Phân số qua bánh tròn

Cắt bánh thành phần bằng nhau rồi tô.

Rút gọn phân số

Gộp ô lưới thành nhóm lớn (tối giản).

🔗

Quy đồng mẫu số

Chia lại hai thanh về cùng số ô.

Cộng phân số

Ghép hai thanh cùng mẫu, đếm tổng.

Trừ phân số

Xoá bớt ô đã tô, đọc phần còn lại.

Nhân phân số

Phần giao của lưới ngang-dọc là tích.

Chia phân số

Nhân với phân số nghịch đảo.

Phân số trên trục số

Kéo điểm vào đúng vạch chia đều.

So sánh phân số

Chồng hai thanh phân số để so sánh.

Hỗn số

Gom phân số > 1 thành phần nguyên.

Số thập phân qua lưới 100

Tô ô hiểu phần mười, phần trăm.

Hàng của số thập phân

Kéo thẻ chữ số vào cột phần mười/trăm.

Cộng số thập phân

Thẳng cột dấu phẩy, nhớ khi tràn 10.

Nhân số thập phân

Đếm chữ số sau dấu phẩy để đặt phẩy.

Chia số thập phân

Dịch dấu phẩy cùng lúc ở hai số.

Đổi phân số ra thập phân

Chia tử cho mẫu, xem số lặp.

Làm tròn số thập phân

Kéo số trên trục về vạch gần nhất.

Tỉ số

Chỉnh chiều dài hai thanh đúng tỉ số.

Phần trăm

Tô ô trong lưới 100 để đọc %.

Tính phần trăm của số

Cắt thanh giá trị theo tỉ lệ phần trăm.

Giảm giá %

Kéo mức % để thấy giá rút xuống.

🗺️

Tỉ lệ bản đồ

Quy đổi khoảng cách bản đồ ra thực tế.

Chu vi hình tròn

Trải đường tròn thành đoạn dài π×d.

Thể tích hộp chữ nhật

Xếp khối lập phương đơn vị lấp đầy hộp.

Thể tích lập phương

Chồng lớp khối đơn vị (V = a³).

Khai triển hộp

Mở 6 mặt tính diện tích toàn phần.

Đổi đơn vị diện tích

1 m² = 10 000 cm².

Đổi đơn vị thể tích

1 dm³ = 1000 cm³.

Chu vi đa giác

Kéo đỉnh, cộng dồn độ dài các cạnh.

Vận tốc

Kéo xe chạy: quãng đường = v × t.

Tam giác v–s–t

Che một ô để suy ra công thức còn lại.

Hai xe gặp nhau

Chỉnh vận tốc để hai xe chạm đúng lúc.

Biểu đồ cột

Kéo chiều cao cột cho khớp số liệu.

🥧

Biểu đồ tròn

Chia hình tròn theo tỉ lệ phần trăm.

Số trung bình

San bằng các cột cao thấp về cùng mức.

Đọc bảng số liệu

Chọn ô đúng để trả lời câu hỏi.

🍬

Chia có dư

Chia đều thành nhóm, phần thừa là dư.

Thứ tự thực hiện phép tính

Ngoặc → nhân/chia → cộng/trừ.

Ước lượng bằng làm tròn

Làm tròn từng số rồi so kết quả.

🏛️

Số La Mã

Ghép I, V, X, L, C thành số và ngược lại.

🍬

Trung bình cộng

Dồn kẹo nhiều túi rồi chia đều lại.

Tìm x

Cân bằng bập bênh giữ hai vế bằng nhau.

Ba cách viết một lượng

Đổi phân số ↔ thập phân ↔ phần trăm.

📓 Lớp 6

Tập hợp

Kéo phần tử vào vòng: thuộc (∈) hay không (∉).

Giao và hợp

Chồng hai vòng Venn, tô ∩ và ∪.

Tia số tự nhiên

Đặt các số đúng vị trí trên tia số.

Hệ thập phân

Bó que thành chục, trăm theo hàng.

Bình phương & lập phương

Dựng ô vuông n² và khối n³.

Thứ tự có lũy thừa

Lũy thừa → nhân/chia → cộng/trừ.

Chia hết cho 2 và 5

Xét chữ số tận cùng.

Chia hết cho 3 và 9

Cộng các chữ số để kiểm tra.

Phân tích thừa số nguyên tố

Tách số thành cây thừa số nguyên tố.

Nguyên tố hay hợp số

Xếp hạt thành chữ nhật để kiểm tra.

▭

Ước của một số

Xếp mọi chữ nhật để tìm hết các ước.

🐸

Bội chung

Hai con nhảy bước khác nhau, tìm ô chung.

⚙️

BCNN

Hai bánh răng quay tới khi khớp lại.

ƯCLN & BCNN (sơ đồ Ven)

Sắp thừa số nguyên tố vào sơ đồ Ven.

Trục số nguyên

Đặt số âm/dương đúng bên gốc 0.

🐸

Cộng số nguyên

Bước tới/lùi trên trục để cộng âm dương.

Trừ số nguyên

Đổi phép trừ thành cộng số đối.

Dấu của tích

Âm × âm = dương — lật thẻ dấu.

🪞

Số đối

Gương hai số cách đều gốc 0.

🌡️

Nhiệt độ âm dương

Kéo thủy ngân qua mốc 0°C.

Phân số âm

Đặt phân số âm/dương lên trục số.

Rút gọn phân số

Gộp ô lưới để tìm dạng tối giản.

So sánh phân số

Quy đồng rồi so số ô trên hai thanh.

Cộng trừ phân số âm

Bước trên trục phân số theo dấu.

Số thập phân âm

Kéo điểm âm vào đúng vạch nhỏ.

Làm tròn số

Kéo số về vạch chục/trăm gần nhất.

Ước lượng kết quả

Làm tròn rồi so nhẩm với thật.

Tam giác đều

Xoay ba cạnh bằng nhau khớp thành tam giác.

Lục giác đều

Ghép sáu tam giác đều thành lục giác.

🔶

Hình thoi

Kéo hai đường chéo vuông góc dựng hình thoi.

▰

Hình bình hành

Trượt cạnh: cặp cạnh song song bằng nhau.

Hình thang cân

Chỉnh hai cạnh bên bằng nhau.

Lát mặt phẳng

Ghép đa giác kín, không hở không chồng.

Chu vi & diện tích đa giác

Kéo đỉnh, xem chu vi và diện tích đổi.

🔶

Diện tích hình thoi

Ghép bốn tam giác: S = d₁·d₂/2.

Đối xứng trục

Gấp hình theo trục xem hai nửa trùng.

Vẽ ảnh đối xứng trục

Chấm điểm gương qua trục trên lưới.

Đối xứng tâm

Quay hình 180° quanh tâm xem trùng lại.

🔤

Chữ cái đối xứng

Phân loại chữ có trục / có tâm đối xứng.

Biểu đồ tranh → cột

Mỗi biểu tượng thành một đơn vị cột.

Đọc biểu đồ cột

Kéo cột khớp bảng rồi trả lời câu hỏi.

🪙

Tung đồng xu

Tung nhiều lần: tần suất tiến về 1/2.

Gieo xúc xắc

Gieo lặp: tần suất tiến về 1/6.

Rút bi trong hộp

Rút nhiều lần, so tần suất với tỉ lệ bi.

📔 Lớp 7

Số hữu tỉ trên trục số

Kéo điểm tìm vị trí phân số, so với gốc.

Cộng trừ số hữu tỉ

Bước nhảy trái/phải trên trục hiện tổng.

🪞

Số đối & giá trị tuyệt đối

Lật điểm qua gốc O, đo khoảng cách.

Nhân chia số hữu tỉ

Chia thanh minh hoạ tích và thương.

Luỹ thừa số hữu tỉ

Nhân lặp, số mũ tăng, cơ số gấp bội.

Thứ tự thực hiện phép tính

Ngoặc → luỹ thừa → nhân/chia → cộng/trừ.

Căn bậc hai qua diện tích

√S là cạnh hình vuông diện tích S.

Số vô tỉ trên đường chéo

Dựng √2 bằng đường chéo ô vuông đơn vị.

Xấp xỉ căn trên trục số

Kẹp √n giữa hai số nguyên liên tiếp.

🔍

Số thực lấp đầy trục

Phóng to thấy hữu tỉ và vô tỉ xen kẽ.

Giá trị tuyệt đối số thực

Khoảng cách đến 0 luôn dương.

Làm tròn & sai số

Kéo thanh độ chính xác thấy số làm tròn.

Tỉ lệ thức

a/b = c/d — tích chéo bằng nhau.

Dãy tỉ số bằng nhau

Tổng tử / tổng mẫu giữ nguyên tỉ.

Tỉ lệ thuận

Kéo hệ số k: y = kx, đường qua gốc.

Tỉ lệ nghịch

Tăng x thì y giảm, tích xy không đổi.

Chia theo tỉ lệ

Chia kẹo theo tỉ lệ, mỗi phần tự tính.

🗺️

Tỉ lệ xích bản đồ

Đổi khoảng cách bản đồ ra thực tế.

Biểu đồ đoạn thẳng

Kéo điểm dữ liệu, đường gấp khúc đổi.

🥧

Biểu đồ quạt tròn

Kéo % để góc quạt tự chia (1% = 3,6°).

Bảng tần số

Điền dữ liệu, tần số và cột tự đếm.

Chọn biểu đồ phù hợp

Kéo dữ liệu, gợi ý loại biểu đồ đúng.

Xác suất gieo xúc xắc

Gieo nhiều lần, tần suất tiến về 1/6.

🎡

Xác suất vòng quay

Quay bánh xe màu, so với lí thuyết.

Biến cố chắc chắn / không thể

Kéo biến cố vào thang 0 đến 1.

Thực nghiệm hội tụ lí thuyết

Tăng số lần thử, tần suất phẳng dần.

Góc so le & đồng vị

Kéo cát tuyến, cặp góc bằng nhau sáng lên.

🛤️

Tiên đề đường song song

Qua điểm ngoài dựng duy nhất một đường.

Góc trong cùng phía

Tổng cặp trong cùng phía luôn 180°.

Hai đường vuông góc

Xoay đường đến khi tạo góc vuông 90°.

Tia phân giác của góc

Kéo tia chia góc thành hai phần bằng nhau.

Góc ngoài tam giác

Bằng tổng hai góc trong không kề.

Phân loại tam giác theo góc

Kéo đỉnh: nhọn / vuông / tù.

Bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh

Khớp ba cạnh, hai tam giác chồng khít.

Bằng nhau cạnh-góc-cạnh

Hai cạnh và góc xen → tam giác duy nhất.

Bằng nhau góc-cạnh-góc

Cạnh và hai góc kề → dựng khớp.

Cạnh huyền - góc nhọn

Hai tam giác vuông khớp cạnh huyền và góc.

Ghép hình bằng nhau

Quay/lật tam giác cho trùng khít bản kia.

Tam giác cân

Kéo đỉnh, hai góc đáy luôn bằng nhau.

Tam giác đều

Quay 120° vẫn trùng chính nó.

Tam giác vuông cân

Hai cạnh góc vuông bằng nhau, đáy 45°.

Đường trung trực

Ba trung trực gặp tâm đường tròn ngoại tiếp.

Trung tuyến & trọng tâm

Ba trung tuyến cắt tại trọng tâm chia 2:1.

Đường cao & trực tâm

Ba đường cao đồng quy tại trực tâm.

Phân giác & tâm nội tiếp

Ba phân giác gặp tâm đường tròn nội tiếp.

Trọng tâm giữ thăng bằng

Đặt trụ ở trọng tâm, tấm tam giác cân bằng.

Bất đẳng thức tam giác

Chỉ khép khi tổng hai cạnh > cạnh còn lại.

Cạnh lớn đối góc lớn

Kéo đỉnh: cạnh dài luôn đối góc lớn hơn.

Đường xiên & hình chiếu

Hình chiếu dài hơn thì đường xiên dài hơn.

Thu gọn đơn thức đồng dạng

Gộp các viên đồng dạng, hệ số cộng lại.

Giá trị của biểu thức

Kéo giá trị x, biểu thức tính tức thì.

Cộng trừ đa thức một biến

Xếp hạng tử cùng bậc, cộng theo cột.

Nghiệm đa thức

Kéo x tìm chỗ đa thức bằng 0.

⬛

Nhân đa thức bằng diện tích

Ghép chữ nhật (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab.

📒 Lớp 8

Đặt nhân tử chung

ab + ac = a(b + c): ghép hai hình chữ nhật cùng chiều cao.

Nhóm hạng tử

ax+ay+bx+by = (a+b)(x+y): ghép 4 ô diện tích.

▦

Nhân hai đa thức

(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab bằng mô hình ô diện tích.

Rút gọn phân thức

Bấm nhân tử chung ở tử và mẫu để giản ước.

Cộng trừ phân thức

Quy đồng mẫu thức rồi cộng trừ tử — từng bước.

Nhân chia phân thức

Nhân tử×tử, mẫu×mẫu; chia thì nhân nghịch đảo.

(a − b)³

a³ − 3a²b + 3ab² − b³ trên biểu đồ thác nước.

🟰

a³ + b³

= (a+b)(a²−ab+b²): số hạng giữa triệt tiêu.

(a + b)³ — khối lập phương 3D

Tách khối cạnh (a+b) thành 8 mảnh màu.

🟦

a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

Khoét khối b³, tách phần còn lại thành 3 hộp.

🟦

(a + b)² là gì?

Cắt hình vuông cạnh (a+b) thành 4 mảnh màu.

🟪

a² − b² = (a−b)(a+b)

Cắt hình chữ L ghép thành chữ nhật.

🟫

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Trừ 2 dải ab, cộng bù ô góc b².

Phương trình bậc nhất — cân thăng bằng

Thêm bớt cùng lượng, chia đều hai vế để tách x.

Phương trình tích A·B = 0

Tích bằng 0 khi một thừa số bằng 0 — nghiệm x=a, x=b.

Hệ số góc của đường thẳng

a = tan α: a>0 lên, a<0 xuống, a=0 nằm ngang.

Số học

Phép nhân = diện tích (a×b)

Đếm ô của hình chữ nhật a cột × b hàng.

Sàng Eratosthenes — số nguyên tố

Gạch bội số, các số nguyên tố sáng lên.

🟧

ƯCLN — thuật toán Euclid

Lát hình chữ nhật bằng ô vuông lớn nhất.

Hình học

⊙

Vị trí của điểm đối với đường tròn

OMR ngoài.

Công thức độ dài đường trung tuyến

mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4; kéo tam giác kiểm chứng.

◎

Bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác

R=abc/(4S), r=S/p; vẽ 2 đường tròn.

↔

Độ dài vectơ và khoảng cách hai điểm

|AB|=√((xB−xA)²+(yB−yA)²).

🛰️

Ba đường conic: elip, hypebol, parabol

Thiết diện nón; tâm sai e<1, =1, >1.

⧨

Góc nhị diện

Hai nửa mặt phẳng chung cạnh; đo bằng góc phẳng ⟂ cạnh.

⟂

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Vuông góc khi tích vô hướng VTCP = 0 (kể cả chéo nhau).

⛰️

Hình chóp tam giác đều

Đáy tam giác đều + 3 mặt bên cân; Sxq, V=⅓S·h.

Đa giác đều nội tiếp đường tròn

n cạnh, góc tâm 360°/n; n tăng → tiến tới hình tròn.

💪

Ứng dụng tích vô hướng: góc và công

cosθ=a·b/(|a||b|); công A=F·d=|F||d|cosθ.

⤡

Phân tích một vectơ theo hai vectơ

c = m·a + n·b (a,b không cùng phương); hình bình hành.

⟂

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung = khoảng cách ngắn nhất.

⧎

Vị trí tương đối của hai đường thẳng (Oxyz)

Song song, trùng, cắt hay chéo nhau.

Thể tích lăng trụ đứng

V=S_đáy·h, Sxq=chu vi đáy·h; 3D + khai triển.

▲

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

c-c-c, c-g-c, g-g; chọn trường hợp, kéo kiểm chứng.

Phép quay

Quay quanh tâm O góc α, bảo toàn khoảng cách.

Thể tích khối đa diện

Chia thành chóp/lăng trụ rồi cộng; chóp cụt = hiệu 2 chóp.

⊕

Vị trí mặt cầu và mặt phẳng (Oxyz)

So d với R: cắt theo đường tròn r=√(R²−d²), tiếp xúc, rời.

⇉

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

b=k·a: k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng; ba điểm thẳng hàng.

◹

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Oxyz)

sinφ = |u·n|/(|u||n|), 3D xoay được.

⊾

Góc giữa hai mặt phẳng (Oxyz)

cosφ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|); vuông góc khi n₁·n₂=0.

⊝

Đường kính và dây cung

Đường kính ⟂ dây thì qua trung điểm; là dây dài nhất.

∡

Góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn

Trong = nửa tổng 2 cung; ngoài = nửa hiệu 2 cung.

◜

Cung chứa góc

Quỹ tích điểm nhìn AB dưới góc α = hai cung chứa góc.

⬖

Thiết diện của hình chóp

Mặt phẳng cắt hình chóp → thiết diện đa giác.

◺

Định lý Pythagoras đảo

a²+b²=c² → vuông; > → nhọn; < → tù.

⛰️

Hình chóp tứ giác đều

Đáy vuông + 4 mặt bên cân; Sxq=2ad, V=⅓a²h.

◡

Liên hệ giữa cung và dây cung

Cung lớn hơn ↔ dây dài hơn; cung bằng ↔ dây bằng.

⊚

Vị trí tương đối của hai đường tròn

So d với R+r, |R−r|: ngoài, tiếp xúc, cắt, đựng.

Giải tam giác vuông

Cho 2 yếu tố → tính phần còn lại; ứng dụng đo cao.

⧉

Trung điểm và trọng tâm (vectơ)

OM=(OA+OB)/2; OG=(OA+OB+OC)/3; GA+GB+GC=0.

⊘

Vị trí đường thẳng và đường tròn

d>R không cắt, d=R tiếp xúc, dChơi ngay

◠

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

= nửa số đo cung bị chắn = góc nội tiếp cùng chắn cung.

◨

Phép chiếu song song

Hình biểu diễn của khối; bảo toàn song song & tỉ số.

Diện tích xung quanh hình chóp đều

Sxq = ½·chu vi đáy·trung đoạn; trải mặt bên.

▤

Hai mặt phẳng song song

(P)//(Q): không điểm chung; mặt phẳng thứ ba cắt tạo giao tuyến //.

Khoảng cách trong không gian

Điểm–đường, điểm–mặt phẳng, 2 đường chéo nhau = đoạn ⟂ chung.

⊙

Vectơ và tích vô hướng trong Oxyz

a·b = aₓbₓ+a_yb_y+a_zb_z = |a||b|cosθ; vuông góc khi = 0.

◎

Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác

Ngoại tiếp qua 3 đỉnh; nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh.

⏢

Đường trung bình của hình thang

// hai đáy và = (a+b)/2.

⇗

Vectơ chỉ phương và pháp tuyến của đường thẳng

u cùng hướng, n vuông góc: u=(−b,a) ⟂ n=(a,b).

⧓

Hypebol: hiệu khoảng cách hai tiêu điểm

|MF₁ − MF₂| = 2a không đổi; 2 nhánh + tiệm cận.

▲

Diện tích tam giác: Heron và ½ab·sinC

S=√(p(p−a)(p−b)(p−c)) = ½ab·sinC.

Thể tích khối lăng trụ

V=S·h; lăng trụ đứng & xiên cùng thể tích (Cavalieri).

⊿

Hai mặt phẳng vuông góc

Góc nhị diện = 90°; (P) chứa đường ⟂ (Q).

⊗

Tích có hướng của hai vectơ trong Oxyz

[a,b] ⟂ cả a,b; |[a,b]| = diện tích hình bình hành.

🔮

Hình cầu và mặt cắt

Mặt cắt là đường tròn r=√(R²−d²); d=0 → lớn nhất.

▲

Đường trung bình của tam giác

Nối 2 trung điểm: MN // BC và MN = ½BC.

△

Tam giác đồng dạng (góc–góc)

Hai cặp góc bằng nhau → đồng dạng; cạnh tỉ lệ k.

▦

Tỉ số đồng dạng và diện tích

Cạnh gấp k lần → diện tích gấp k² lần.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b²=a·b′, c²=a·c′, h²=b′·c′, a·h=b·c.

⌒

Dây cung và khoảng cách đến tâm

Dây càng gần tâm càng dài; đường kính dài nhất.

↗

Phương trình tổng quát của đường thẳng

VTPT n=(a;b) ⟂ đường ax+by+c=0; VTCP u=(−b;a).

Góc giữa hai đường thẳng

cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|), 0°–90°; vuông góc khi n₁·n₂=0.

⊃

Parabol: tiêu điểm và đường chuẩn

M trên parabol: MF (tới tiêu điểm) = MH (tới đường chuẩn).

▱

Đường thẳng song song với mặt phẳng

d // (P) khi không có điểm chung và d // một đường trong (P).

◹

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc(d,(P)) = góc(d, hình chiếu d'); 0°–90°.

🔻

Thể tích khối chóp

3 khối chóp lấp đầy 1 lăng trụ → V=⅓·S·h.

⬗

Phương trình mặt phẳng trong Oxyz

VTPT n=(A,B,C): Ax+By+Cz+D=0, kéo xoay khối 3D.

⟋

Phương trình đường thẳng trong Oxyz

M₀ + VTCP u: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxyz)

d=|Ax+By+Cz+D|/√(A²+B²+C²), vẽ đoạn vuông góc.

◯

Phương trình đường tròn trong Oxy

Kéo tâm I, bán kính R: (x−a)²+(y−b)²=R².

🧭

Toạ độ vectơ và phân tích theo i, j

Tách v = x·i + y·j, đọc toạ độ và |v|=√(x²+y²).

⟂

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

d⟂(P) khi d ⟂ hai đường cắt nhau trong (P).

🍦

Hình nón: khai triển mặt xung quanh

Trải mặt nón thành hình quạt; Sxq=πrl, V=⅓πr²h.

Định lý Thales trong tam giác

Đường // BC: AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Tứ giác nội tiếp đường tròn

Kéo 4 đỉnh: tổng hai góc đối luôn bằng 180°.

◜

Độ dài cung tròn

Kéo góc ở tâm: l = (n/360)·2πR so với chu vi.

🥫

Hình trụ: diện tích & thể tích

Trải mặt bên thành 2πr × h; Sxq, Stp, V=πr²h.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

d=|axM+byM+c|/√(a²+b²), vẽ đoạn vuông góc.

🌐

Phương trình mặt cầu trong Oxyz

Kéo tâm I, bán kính R: (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².

➡️

Tổng và hiệu hai vectơ

Quy tắc tam giác, hình bình hành và hiệu a−b.

∡

Tích vô hướng của hai vectơ

a·b = |a||b|cosθ, dấu theo góc nhọn/tù/vuông.

⬭

Elip — tổng khoảng cách hai tiêu điểm

MF₁+MF₂=2a không đổi như sợi dây căng bút chì.

Diện tích hình tròn = πR²

Trải các vòng tròn thành một tam giác để thấy công thức hiện ra.

Diện tích hình thang

Lật bản sao, ghép thành hình bình hành.

Định lý Pythagoras

Ghép các mảnh để thấy a² + b² = c².

Diện tích tam giác = đáy×cao/2

Ghép 2 tam giác thành hình bình hành.

Thể tích hình chóp = 1/3 hình hộp

Tách hình hộp thành 3 khối chóp (3D).

Tổng 3 góc tam giác = 180°

Xé 3 góc ghép thành góc bẹt.

Số Pi (π) — lăn hình tròn

Lăn đường kính 1 đi đúng π đơn vị.

▰

Diện tích hình bình hành = đáy×cao

Cắt tam giác vuông trượt thành chữ nhật.

⌔

Góc nội tiếp = ½ góc ở tâm

Kéo điểm trên đường tròn, tỉ lệ luôn 2:1.

⊙

Tiếp tuyến của đường tròn

Kéo tiếp điểm: luôn vuông góc bán kính.

◠

Góc nội tiếp cùng chắn một cung

Kéo đỉnh, mọi góc nội tiếp bằng nhau.

◔

Diện tích hình quạt tròn

Kéo góc n°: quạt = (n/360)·πR².

🌐

Thể tích hình cầu = 4/3 πR³

Mặt cắt hình cầu = trụ trừ nón (Cavalieri).

Đa giác đều → hình tròn (kẹp số π)

Tăng số cạnh, kẹp π giữa hai đa giác.

Đại số

Rút gọn biểu thức hữu tỉ

Dãy +, −, ×, ÷ phân thức rồi rút gọn tối giản, từng bước.

Phân tích đa thức: phối hợp phương pháp

Kết hợp nhân tử chung + hằng đẳng thức + nhóm hạng tử.

⊹

Mặt phẳng toạ độ

Đọc toạ độ (x;y), 4 góc phần tư; vẽ điểm.

Hằng đẳng thức √(A²)=|A|

√(A²) là trị tuyệt đối của A; y=√(x²)=|x|.

Đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b

Hệ số góc a, tung độ gốc b; a>0 đồng biến, a bằng → //.

📝

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đặt ẩn x, lập PT bậc nhất từ đề chuyển động/năng suất.

≶

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Chia số âm thì đổi chiều; biểu diễn nghiệm trên trục.

⋂

Tương giao parabol và đường thẳng

Giao điểm y=ax² và y=mx+b: 0/1/2 điểm theo Δ.

ℂ

Các phép tính số phức tổng hợp

+, −, ×, ÷ số phức; phần thực/ảo, môđun, liên hợp.

∛

Căn bậc ba

∛a = cạnh khối lập phương thể tích a; xác định cả khi a<0.

Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

Đưa thừa số ra/vào căn, khử mẫu, trục căn thức.

Bài toán quy hoạch tuyến tính

F=ax+by đạt max/min tại đỉnh miền nghiệm đa giác.

↻

Dãy số cho bởi công thức truy hồi

uₙ₊₁=f(uₙ): tăng/giảm/dao động/hội tụ.

∑

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

|q|<1: S=u₁/(1−q); lấp dần phần còn lại.

Phép chia số phức

z₁/z₂=z₁·z̄₂/|z₂|²: chia môđun, trừ argument.

⟄

Tập xác định của hàm số

Mẫu ≠ 0, biểu thức trong căn ≥ 0; tô miền x hợp lệ.

⋁

Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối

y=|f(x)|: gập phần dưới trục lên trên; y=|x−m|+n.

≑

Hai phân thức bằng nhau

A/B=C/D ⟺ A·D=B·C (tích chéo).

⁴

Phương trình quy về bậc hai

Trùng phương đặt t=x²; PT chứa ẩn ở mẫu.

⇔

Mệnh đề đảo, tương đương, điều kiện cần và đủ

P⇒Q, đảo Q⇒P; P⇔Q là điều kiện cần và đủ.

⟦⟧

Các tập hợp số: khoảng, đoạn, nửa khoảng

(a;b), [a;b], nửa khoảng trên trục số; giao & hợp.

⊟

Giải BPT tích, thương (bảng xét dấu)

Xét dấu từng nhân tử → bảng xét dấu → nghiệm.

Giá trị của phân thức tại x

Điều kiện mẫu ≠ 0; thay x tính giá trị.

㏒

Tính chất lũy thừa và logarit

aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ; logₐ(xy)=logₐx+logₐy.

≷

Bất phương trình mũ và logarit

aˣ>m: a>1 giữ chiều, 0Chơi ngay

Chia đa thức một biến (đặt tính)

Hạ–nhân–trừ từng bước ra thương Q, dư R; A=B·Q+R.

⇋

Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Chẵn f(−x)=f(x) đối xứng trục tung; lẻ đối xứng gốc O.

Dấu của nhị thức bậc nhất

ax+b đổi dấu qua x=−b/a: phải cùng dấu a, trái trái dấu.

💰

Cấp số nhân và lãi kép

Aₙ=A·(1+r)ⁿ là cấp số nhân, tăng theo hàm mũ.

ⅈ

Nghiệm phức của phương trình bậc hai

Δ<0: 2 nghiệm phức liên hợp trên mặt phẳng phức.

Phân tích đa thức bằng hằng đẳng thức

Nhận dạng a²±2ab+b², a²−b², a³±b³ → tích nhân tử.

Hai đường thẳng: song song, cắt, trùng

a khác → cắt; a bằng, b khác → song song; bằng cả → trùng.

⋚

Bất phương trình bậc hai một ẩn

Miền nghiệm từ vị trí parabol so với Ox và dấu a.

∪

Hàm số bậc hai y=ax²+bx+c

Đỉnh, trục đối xứng, bảng biến thiên, GTLN/GTNN.

∠

Số phức dạng lượng giác

z=r(cosφ+i·sinφ); nhân = nhân môđun + cộng argument.

∥

Hệ phương trình: vô nghiệm và vô số nghiệm

2 đường //→vô nghiệm, trùng→vô số, cắt→1 nghiệm.

⬠

Hệ bất phương trình 2 ẩn — miền nghiệm

Giao các nửa mặt phẳng → miền đa giác nghiệm.

⋁

Đỉnh và trục đối xứng của parabol

Đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a), trục x=−b/2a.

Điều kiện xác định của căn thức √A

√A xác định khi A≥0; tô miền xác định trên trục.

Nhân số phức = quay và co giãn

Nhân z·w: quay arg(w), co giãn |w| lần; ·i = quay 90°.

⋃

Hàm số y=ax² và parabol

Kéo a: mở lên/xuống, rộng/hẹp, đối xứng trục tung.

Mệnh đề và phủ định

Đúng/sai của P, phủ định ¬P, P⇒Q và lượng từ ∀, ∃.

∩

Tập con, giao, hợp, hiệu

Venn 2 tập: A∩B, A∪B, A∖B, phần bù, A⊂B.

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Hoàn thành bình phương → x=(−b±√Δ)/2a.

Hệ phương trình bậc nhất — giao điểm

Nghiệm = giao điểm 2 đường; song song vô nghiệm, trùng vô số.

Phương trình bậc hai và Δ

Δ=b²−4ac: hai nghiệm, nghiệm kép hay vô nghiệm.

Hệ thức Vi-ét

Kéo 2 nghiệm: tổng S=−b/a, tích P=c/a, dựng lại PT.

◧

Miền nghiệm bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Tô nửa mặt phẳng nghiệm, thử điểm thuộc miền hay không.

📶

Cấp số cộng và tổng n số hạng

Ghép bậc thang + bản sao lật → Sₙ=n(u₁+uₙ)/2.

⊕

Cộng trừ số phức như cộng vectơ

z₁+z₂ hình bình hành, z₁−z₂ vectơ hiệu.

Dấu của tam thức bậc hai

Kéo a, b, c — trục số tô dấu f(x), quy tắc "trong trái ngoài cùng".

ℂ

Số phức trên mặt phẳng phức

Kéo z=a+bi: phần thực, phần ảo, môđun, liên hợp.

Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c

Kéo a, b, c xem parabol, đỉnh, nghiệm đổi.

🪜

1 + 2 + … + n = n(n+1)/2

Xếp bậc thang + bản sao thành hình chữ nhật.

1 + 3 + 5 + … = n²

Mỗi lớp chữ L là một số lẻ.

Hàm số bậc nhất y = ax + b

Kéo a (độ dốc) và b (cắt trục tung).

♟️

Lũy thừa của 2 — nhân đôi

Hạt thóc trên bàn cờ: mỗi ô gấp đôi ô trước.

Lượng giác

🗼

Ứng dụng tỉ số lượng giác

Đo gián tiếp chiều cao: h=d·tanα; độ dốc.

〜

Phương trình a·sinx + b·cosx = c

Đưa về R·sin(x+φ)=c; có nghiệm khi |c|≤R.

↔

Giá trị lượng giác các góc có quan hệ

Góc đối, bù, phụ: quan hệ sin, cos, tan.

〜

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

sin/cos chu kỳ 2π, tan chu kỳ π; lặp lại y hệt.

◗

Giá trị lượng giác của góc 0°–180°

Nửa đường tròn: sinα≥0, cosα âm khi α>90°.

⇄

Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa·cosb=½[cos(a−b)+cos(a+b)]; và tổng→tích.

⤓

Công thức hạ bậc lượng giác

sin²a=(1−cos2a)/2, cos²a=(1+cos2a)/2.

✕2

Công thức nhân đôi lượng giác

sin2a=2sina·cosa, cos2a=cos²a−sin²a.

Công thức cộng lượng giác

sin(a+b)=sina·cosb+cosa·sinb; kéo a, b kiểm chứng.

◔

Giá trị lượng giác của một cung

sin=tung độ, cos=hoành độ; dấu theo góc phần tư.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

sinα=đối/huyền, cosα=kề/huyền, tanα=đối/kề.

〰️

Đồ thị hàm số y=sinx và y=cosx

Điểm chạy quanh vòng tròn vẽ ra sóng sin/cos, chu kỳ 2π.

Đồ thị hàm số y=tanx và y=cotx

Đoạn tan trên tiếp tuyến → đồ thị tan, tiệm cận tại π/2+kπ.

🎚️

Phương trình lượng giác cơ bản

sinx=m, cosx=m: họ nghiệm là giao điểm với đường y=m.

Góc lượng giác trên đường tròn

Kéo điểm: góc độ & radian, dấu sin/cos, k·360°.

Định lý sin

Kéo tam giác nội tiếp: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.

🌊

sin & cos trên vòng tròn đơn vị

Điểm chạy quanh vòng tròn, vẽ ra sóng sin.

sin, cos, tan, cot là gì?

Cả 4 hàm là đoạn thẳng trên vòng tròn — có mô tả.

Định lý cos: c² = a²+b²−2ab·cosC

Kéo góc C: 90° thì về Pythagoras.

Giải tích

Ứng dụng hàm số bậc hai (chuyển động ném)

Quỹ đạo parabol: tầm cao tại đỉnh, tầm xa tại nghiệm.

Ứng dụng đạo hàm: tốc độ thay đổi

Đạo hàm = tốc độ thay đổi tức thời (dân số, làm nguội…).

∫

Bảng nguyên hàm cơ bản

∫xⁿ, ∫eˣ, ∫1/x, ∫cosx…; ghép cặp hàm ↔ nguyên hàm.

⨜

Tích phân đổi biến số

Đặt t=u(x), đổi cận; diện tích bảo toàn.

Ứng dụng mũ và logarit thực tế

Lãi kép, dân số, phân rã phóng xạ, pH, decibel.

Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đọc từ đồ thị: đi lên = đồng biến, đi xuống = nghịch biến.

Vi phân của hàm số

dy=f′(x)·dx; Δy≈dy khi Δx nhỏ, tính gần đúng.

◧

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và Ox

S=∫|f(x)|dx; phần dưới trục vẫn diện tích dương.

⤴

Từ bảng biến thiên đến đồ thị

Đọc dấu f′, cực trị, tiệm cận để phác thảo đồ thị.

🏺

Thể tích khối tròn xoay quanh Oy

Quay quanh Oy: đĩa π∫x²dy hoặc vỏ trụ 2π∫x·f dx.

∂

Định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

f′(x₀)=lim(h→0)[f(x₀+h)−f(x₀)]/h.

⨛

Tích phân từng phần

∫u dv = uv − ∫v du; ví dụ ∫x·eˣ, ∫x·cosx.

Bài toán tối ưu thực tế (cực trị)

Gấp hộp thể tích max, rào vườn diện tích max bằng đạo hàm.

⇥

Giới hạn một bên

lim trái = lim phải thì có giới hạn; khác nhau → bước nhảy.

Đạo hàm của hàm hợp (dây chuyền)

(f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x); hai bánh răng nối tiếp.

🏎️

Vận tốc và gia tốc tức thời

v=s′(t), a=s″(t); kéo t xem chất điểm chuyển động.

∞

Giới hạn vô cực và tại vô cực

x→∞ áp tiệm cận ngang; lim=±∞ dọc tiệm cận đứng.

Thể tích vật thể bằng tích phân

V=∫S(x)dx: cộng các lát mỏng diện tích S(x).

↝

Đạo hàm cấp hai và ý nghĩa

f″>0 lõm, f″<0 lồi, f″=0 điểm uốn; = gia tốc.

⟋

Tiệm cận xiên của đồ thị

Chia đa thức tách y=mx+n; đồ thị áp sát khi x→±∞.

⨯

Tương giao đồ thị và số nghiệm

Số nghiệm f(x)=m = số giao điểm với đường y=m.

Quy tắc tính đạo hàm

(u+v)′, (uv)′=u′v+uv′, (u/v)′ — từng bước.

Ứng dụng tích phân: quãng đường

s=∫v dt = diện tích (có dấu) dưới đồ thị vận tốc.

〽️

Đồ thị hàm số trùng phương

y=ax⁴+bx²+c: chữ W (3 cực trị) hay chữ U; đối xứng trục tung.

Phương trình mũ và logarit

Nghiệm aˣ=m, logₐx=m là giao điểm với đường y=m.

◑

Diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Miền giữa f(x), g(x) = ∫|f−g|dx trên [a,b].

→

Giới hạn của hàm số

x→x₀ hai phía, f(x)→L; kể cả khi có lỗ hổng tại x₀.

Hàm số liên tục

Vẽ 1 nét vs gián đoạn; điều kiện lim f(x)=f(x₀).

Đạo hàm và tiếp tuyến

h→0: cát tuyến → tiếp tuyến, hệ số góc = f′(x₀).

⬆️

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn

So sánh cực trị bên trong với hai đầu mút a, b.

⤢

Khảo sát hàm phân thức

(ax+b)/(cx+d): tiệm cận, tâm đối xứng, đơn điệu theo ad−bc.

∫

Nguyên hàm và diện tích

Diện tích tích luỹ A(x); độ dốc của A đúng bằng f(x).

〰️

Khảo sát hàm số bậc ba

Kéo a,b,c,d: cực trị, điểm uốn, dạng đồ thị theo dấu a.

➡️

Giới hạn của dãy số

uₙ dồn về L; dải ε cho thấy từ N trở đi nằm trong dải.

Tính đơn điệu và dấu đạo hàm

f'>0 đồng biến, f'<0 nghịch biến — tô màu theo dấu.

⛰️

Cực trị của hàm số

Cực đại/cực tiểu nơi f'=0 và đổi dấu; điểm uốn thì không.

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Đồ thị (ax+b)/(cx+d) áp sát tiệm cận x=−d/c, y=a/c.

Đồ thị hàm số mũ y=aˣ

Kéo cơ số a: qua (0,1), a>1 đồng biến, tiệm cận y=0.

🪵

Đồ thị hàm số logarit y=logₐx

Qua (1,0), đối xứng với y=aˣ qua đường y=x, TCĐ x=0.

Toạ độ điểm trong không gian Oxyz

Kéo x,y,z dựng M, hình hộp toạ độ, OM=√(x²+y²+z²).

🏺

Thể tích khối tròn xoay

Quay miền phẳng quanh Ox, cộng đĩa mỏng → V=π∫f²dx.

Đạo hàm = độ dốc tiếp tuyến

Cho 2 điểm tiến lại gần → tiếp tuyến.

Tích phân = diện tích dưới đường cong

Tăng số hình chữ nhật lấp đầy diện tích.

1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

Lấp dần một nửa phần còn lại của hình vuông.

Xác suất & Thống kê

Xác suất của phép thử kết hợp

Hai phép thử liên tiếp: bảng kết quả, đếm thuận lợi.

Biểu đồ đoạn thẳng

Điểm nối bằng đoạn thẳng; đọc xu hướng tăng/giảm.

🌲

Công thức xác suất toàn phần

P(A)=P(B)·P(A|B)+P(B̄)·P(A|B̄); cây 2 nhánh.

Xác suất lý thuyết theo mô hình

P=thuận lợi/tổng; so với xác suất thực nghiệm.

Sơ đồ cây tính xác suất

Liệt kê kết quả phép thử nhiều bước, đếm nhánh thuận lợi.

🎱

Tính xác suất bằng tổ hợp

P=C thuận lợi/C tổng; rút đồng thời m viên bi.

🗂️

Thu thập và phân loại dữ liệu

Định tính/định lượng, rời rạc/liên tục; chọn biểu đồ.

Biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng

E(X)=Σxᵢ·pᵢ là điểm cân bằng; mô phỏng trung bình dài hạn.

🎡

Xác suất của biến cố

P=số thuận lợi/tổng; mô phỏng so tần suất với xác suất.

Tần số tương đối và tần số tích luỹ

Tần số → tương đối (%) → tích luỹ; cột + đường tích luỹ.

Biểu đồ cột kép

So sánh 2 bộ dữ liệu theo nhóm bằng 2 cột cạnh nhau.

⚠️

Phát hiện số liệu không hợp lý

Tìm giá trị bất thường (âm, tổng %≠100, ngoài phạm vi).

⋃

Biến cố hợp, giao, xung khắc

A∪B, A∩B; xung khắc khi A∩B=∅; công thức cộng.

Bảng tần số ghép nhóm

Tần số, tần số tương đối %, tần số tích luỹ + histogram.

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

R=max−min, IQR=Q3−Q1; phát hiện giá trị ngoại lệ.

⊂

Xác suất có điều kiện P(A|B)

P(A|B)=P(A∩B)/P(B): thu hẹp không gian mẫu về B.

🌿

Công thức Bayes

Đảo điều kiện P(A|B) từ P(B|A) qua cây xác suất.

Số đặc trưng của mẫu ghép nhóm

Trung bình, mốt, trung vị, tứ phân vị bằng nội suy.

Trung vị, tứ phân vị và biểu đồ hộp

Q1, Q2, Q3, IQR và box plot với râu min–max.

◐

Biến cố đối và xác suất

P(Ā)=1−P(A); "ít nhất một" = 1 − "không có cái nào".

≈

Số gần đúng và sai số

Sai số tuyệt đối, tương đối, độ chính xác d.

Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Trường hợp rời nhau thì cộng, bước liên tiếp thì nhân.

Phương sai và độ lệch chuẩn

s²=Σ(xᵢ−x̄)²/n; dữ liệu càng phân tán s càng lớn.

Biến cố độc lập và quy tắc nhân

P(A∩B)=P(A)·P(B); bảng tích kết quả.

Biểu đồ tần số ghép nhóm

Histogram cột liền nhau, chiều cao = tần số nhóm.

Xác suất thực nghiệm

Gieo nhiều lần: tần số tương đối hội tụ xác suất lý thuyết.

🔀

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phân biệt P(n)=n!, A(n,k) có thứ tự, C(n,k) không thứ tự.

△

Nhị thức Newton và tam giác Pascal

(a+b)ⁿ với hệ số là hàng n tam giác Pascal.

🪙

Xác suất — tung đồng xu

Tung nhiều lần → tỉ lệ ngửa tiến về 0,5.

🔔

Bảng Galton — đường cong chuông

Thả bi qua các đinh → hình chuông Pascal.